Esta imagen (tomada de Google Maps) se corresponde con una de las entradas a Móstoles y en ella se pueden observar varios ejemplos de tangencias entre rectas y circunferencias.
Intenta identificar alguna de ellas.
DEFINICIÓN.
Una recta tangente es aquella que solo tiene un punto en común con una circunferencia, la toca en un solo punto denominado punto de tangencia.
Dos circunferencias son tangentes cuando tienen un solo punto común (punto de tangencia).
PROPIEDADES.
En los siguientes gráficos desplaza los puntos amarillos y observa lo que ocurre.
Vamos a fijarnos en dos lugares geométricos (conjunto de puntos que cumplen una condición):
Todas las posibles circunferencias con un radio dado y tangentes a una recta, tendran su centro en otra recta paralela separada una distancia igual al radio.
Todas las posibles circunferencias con un radio dado y tangentes a otra circunferencia, tendrán su centro en una tercera circunferencia de radio la suma de los dos radios.
Conclusiones:
Una recta t, tangente a una circunferencia c en un punto T determina un ángulo de 90º con el radio asociado a ese punto. (El radio OT y la recta t, son perpendiculares).
Los centros de las circunferencias están alineados con el punto de tangencia. (O1, O2 y T pertenecen a la misma recta).
TRAZADOS.
Circunferencia tangente a una recta en un punto.
Partimos de un punto en una recta; sobre ese punto vamos a trazar una circunferencia tangente con un radio conocido.
Construcción paso a paso:
Recta tangente a una circunferencia en un punto de ella.
En este caso tenemos el punto en una circunferencia y vamos a trazar la recta tangente por ese punto.
Construcción paso a paso:
Circunferencia tangente a otra por un punto.
En este problema debemos trazar la circunferencia roja de la que conocemos el radio de manera que sea tangente a la negra en un punto que conocemos.
Construcción paso a paso:
Rectas tangente a una circunferencia desde un punto exterior.
Desde el punto P vamos a trazar las rectas tangentes a la circunferencia con centro en el punto O.
Construcción paso a paso:
Rectas tangentes exteriores a dos circunferencias.
Vamos a trazar dos rectas que toquen exteriormente a las dos circunferencias dadas.
Construcción paso a paso:
Rectas tangentes interiores dos circunferencias.
Vamos a trazar dos rectas que toquen interiormente a las dos circunferencias dadas.
Construcción paso a paso:
Circunferencia tangente a dos rectas perpendiculares.
Vamos a trazar una circunferencia que toque a las dos rectas que se cortan perpendicularmente.
Construcción paso a paso:
PROBLEMAS.
Trata de resolver las siguientes cuestiones. Pulsando sobre el botón situado a la derecha de cada enunciado aparecerá una ventana de GeoGebra donde debes resolverlas. Estas ventanas disponen de las herramientas imprescindibles para su solución.
1. Dibuja una circunferencia de radio 2 cm, tangente a la recta r en el punto A.
2. Traza la recta tangente a la circunferencia c en el punto A.
3. Dibuja la circunferencia de radio 3 cm tangente a la dada en el punto A.
4. Traza desde el punto A las rectas tangentes a la circunferencia c.
TANGENCIAS.
Intenta identificar alguna de ellas.
DEFINICIÓN.
en común con una circunferencia, la toca en un solo
punto denominado punto de tangencia.
un solo punto común (punto de tangencia).
PROPIEDADES.
En los siguientes gráficos desplaza los puntos amarillos y observa lo que ocurre.
Vamos a fijarnos en dos lugares geométricos (conjunto de puntos que cumplen una condición):
Todas las posibles circunferencias con un radio dado y tangentes a una recta, tendran su centro en otra recta paralela separada una distancia igual al radio.
Todas las posibles circunferencias con un radio dado y tangentes a otra circunferencia, tendrán su centro en una tercera circunferencia de radio la suma de los dos radios.
TRAZADOS.
Circunferencia tangente a una recta en un punto.
Construcción paso a paso:
Recta tangente a una circunferencia en un punto de ella.
Construcción paso a paso:
Circunferencia tangente a otra por un punto.
Construcción paso a paso:
Rectas tangente a una circunferencia desde un punto exterior.
Construcción paso a paso:
Rectas tangentes exteriores a dos circunferencias.
Construcción paso a paso:
Rectas tangentes interiores dos circunferencias.
Construcción paso a paso:
Circunferencia tangente a dos rectas perpendiculares.
Construcción paso a paso:
Trata de resolver las siguientes cuestiones.
Pulsando sobre el botón situado a la derecha de cada enunciado aparecerá una ventana de GeoGebra donde debes resolverlas. Estas ventanas disponen de las herramientas imprescindibles para su solución.
Lámina para descargar.
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Realizada por: Susana Vacas y Luis Pérez.